Fundamentos de Inferência
Introdução
Um dos principais objetivos da Estatística é tirar conclusões a partir dos dados.
Dados em geral consistem de uma amostra de elementos de uma população de interesse.
O objetivo é usar a amostra e tirar conclusões sobre a população.
Quão confiável será utilizar a informação obtida apenas de uma amostra para concluir algo sobre a população?
Inferência Estatística
Variável Aleatória: Característica numérica do resultado de um experimento.
População: todos os elementos ou resultados de um problema que está sendo estudado.
Amostra: qualquer subconjunto da população que contém os elementos que podem ser observados e é onde as quantidades de interesse podem ser medidas.
Inferência Estatística
Parâmetros: Característica numérica (desconhecida) da distribuição dos elementos da população.
Estimador/Estatística: Função da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar um parâmetro de interesse na população.
Estimativa: Valor numérico que um estimador assume para uma dada amostra.
Estatística
Seja \(X_{1},...,X_{n}\) uma amostra, \(T=f(X_{1},...,X_{n})\) é uma estatística.
Exemplos:
\(\bar{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}=\frac{1}{n}(X_{1}+...+X_{n})\): a média amostral é uma estatística.
\(X_{(1)}=min\{X_{1},...,X_{n}\}\).
\(X_{(n)}=max\{X_{1},...,X_{n}\}\).
\(X_{(i)}\) é o i-ésimo valor da amostra ordenada.
Note que uma estatística é uma função que em uma determinada amostra assume um valor específico (estimativa).
Estatística
Para que serve uma estatística? Para "estimar" os valores de uma distribuição, ou características de uma população.
População:
- \(\mbox{média}_{P}\).
- \(\mbox{variância}_{P}\).
Amostra:
- \(\mbox{média}_{A} = \sum_{i=1}^{n}\frac{X_{i}}{n}\) "estima" a \(\mbox{média}_{P}\).
- \(\mbox{variância}_{A} = \sum_{i=1}^{n}\frac{(X_{i}-\mbox{média}_{A})^{2}}{n}\) "estima" a \(\mbox{variância}_{P}\)
Exemplo
Temos interesse em conhecer a média e variância das alturas dos brasileiros adultos. Sabemos que a distribuição das alturas pode ser representada por um modelo normal.
Solução 1: Medir a altura de todos os brasileiros adultos.
Solução 2: Selecionar de forma aleatória algumas pessoas (amostra), analisá-las e inferir propriedades para toda a população.
Exemplo
Seja \(\theta\) a proporção de alunos na Unicamp que doou sangue pelo menos uma vez nos últimos dois anos.
Inviável perguntar para todos os estudantes: coleta-se uma amostra.
Planejamento amostral: obter uma amostra aleatória simples de tamanho \(n=100\) alunos, sem reposição.
cada \(X_{i}\), \(i=1,...,100\), vai assumir o valor 1 se o aluno \(i\) doou sangue pelo menos uma vez nos últimos dois anos, e 0 se não.
estatística: \(T=\frac{X_{1}+...+X_{100}}{100}\).
uma vez que a coleta foi implementada, \(T\) assume um valor, por exemplo, 0.63, que será usado para estimar \(\theta\), ou seja, \(\hat\theta=0.63\).
Parâmetro
Cada quantidade de interesse (como \(\theta\) no exemplo anterior) é chamada de parâmetro da população.
Para apresentar uma estimativa de um parâmetro (\(\hat\theta\)), devemos escolher uma estatística (\(T\)).
Note que da maneira que o plano amostral foi executado (amostra aleatória simples), a estatística \(T\) é uma variável aleatória, visto que cada vez que executarmos o plano amostral poderemos obter resultados diversos.
Portanto, a estatística \(T\) possui uma distribuição de probabilidade, chamada de distribuição amostral de T.
Exemplo: Lançamento de dado
Se o dado é "honesto", quantos 6 você espera que ocorram em 100 lançamentos?
Se um dado "honesto" é lançado diversas vezes, esperamos que o 6 ocorra \(1/6\) das vezes.
100 lançamentos: \(100/6\approx 17\) vezes.
É muito improvável que o 6 saia 23 vezes em 100 lançamentos? Como verificar?
- Lance o dado 100 vezes.
- Conte o número de 6 que aparecem.
- Repita várias vezes esse processo.
Você obtém assim a distribuição de frequências do 6 em 100 lançamentos do dado.
Simulação 1: lançamento de um dado 100 vezes
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Freq | 12 | 21 | 28 | 6 | 20 | 13 |
Simulação 2: lançamento de um dado 100 vezes
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Freq | 16 | 19 | 13 | 16 | 14 | 22 |
Simulação 3: lançamento de um dado 100 vezes
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Freq | 11 | 21 | 22 | 13 | 19 | 14 |
Simulação 3: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação 3: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação 2: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação 1: lançamento de um dado 100 vezes
Simulação: lançamento de um dado 100 vezes
A cada simulação (100 lançamentos e anotando o total de 6) obtivemos um resultado diferente: 13, 22 e 14.
Se repetirmos as simulação 1000 vezes, temos uma idéia da distribuição de frequências da proporção de 6 em 100 lançamentos.
Média: 0.167. Mediana: 0.17.
Simulação 4: lançamento de um dado 5000 vezes
Com poucos lançamentos, a proporção de 6 pode flutuar bastante, mas com o aumento do número de lançamentos, a proporção acumulada de 6 estabiliza em \(1/6\).
Lei dos Grandes Números
O resultado da simulação é um caso particular da Lei dos Grandes Números, resultado provado em 1689 pelo matemático suíço Jacob Bernoulli.
Se um evento de probabilidade p é observado repetidamente em ocasiões independentes, a proporção da frequência observada deste evento em relação ao total número de repetições converge em direção a p à medida que o número de repetições se torna arbitrariamente grande.
Teorema Central do Limite
Teorema Central do Limite (TCL)
Resultado
Para uma amostra aleatória simples \(X_{1},...,X_{n}\) coletada de uma população com média \(\mu\) e variância \(\sigma^{2}\), a distribuição amostral de \(\bar{X}_{n}\) aproxima-se de uma distribuição Normal de média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^{2}}{n}\), quando \(n\) for suficientemente grande.
Definimos também:
\[Z=\frac{\bar{X}_{n}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)\]
Teorema do Limite Central
Exemplo
\(X=\) resultado obtido no lançamento de um dado honesto.
| \(x\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)=P(X=x)\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) | \(\frac{1}{6}\) |
\(E(X)=\frac{1}{6}\times(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=3.5\)
\(Var(X)=\frac{1}{6}[(1+4+9+16+25+36)-\frac{1}{6}\times(21)^{2}]=\frac{35}{2}=17.5\)
\(X_i\): resultado do \(i\)-ésimo lançamento de um dado honesto.
\(X_i\) tem distribuição uniforme discreta \(\forall i\).
\(\mu=E(X_i)=3.5 \qquad\) e \(\qquad \sigma^2=Var(X_i)=17.5\), \(\forall i\).
Exemplo
Se temos uma amostra aleatória simples de tamanho \(n\): \(X_1,X_2,\ldots, X_n\), pelo TLC sabemos que a distribuição amostral de \(\bar{X}_n\) é aproximadamente Normal\(\left( 3.5, \frac{17.5}{n} \right)\).
O primeiro histograma a seguir mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar o resultado do lançamento de 1 dado. Repare que é muito próximo de uma distribuição uniforme discreta (chance 1/6 para cada resultado).
O segundo histograma mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 2 dados (equivalente a observar a média de 2 lançamentos de um dado).
O último histograma mostra o resultado de 10000 repetições do seguinte experimento: observar a média do lançamento de 100 dados (equivalente a observar a média de 100 lançamentos de um dado).
Repare que conforme o número de dados (tamanho amostral) aumenta, a distribuição da média amostral se aproxima da distribuição normal com média 3.5 e variância cada vez menor (17.5/n).
Exemplo
Teorema do Limite Central (TLC)
Você pode verificar o comportamento de \(\bar{X}\) para vários tipos de distribuição de \(X\):
Leituras
Slides produzidos pelos professores:
Samara Kiihl
Tatiana Benaglia
Benilton Carvalho
Rafael Maia